[금융공학] Brownlan Motion

Brownian Motion

Brownian Motion이 뭐냐?
-> 무작위로 움직이는 현상.
예를들어 꽃가루 입자기 물속에서 불규칙하게 움직이는 것.
이런 운동은 자연현상뿐만 아니라 금융에서는 주식이나 가격이 시간에 따라 예측할 수 없이 변동하는 것을 설명할 수 있음
간단히 말하면 브라운 운동은 예측 불가능한 변화나 움직임을 수학적으로 모델링한 것.

Stochastic Process와 Random Walk

Stochastic Process

Stochastic Process(확률과정)는 결과가 무작위로 발생하는 일련의 사건을 수학적으로 모델링한 것

"T"는 인덱스 집합이며, 확률 과정이 정의되는 시간의 모음을 의미.
이는 확률 과정을 관찰하거나 측정하는 특정 시점들을 나타낸다.

예를 들어, 일일 주식 가격 변동을 모델링할 때 "T"는 연속적인 날짜나 시간을 포함할 수 있음
간단히 말해, 확률 과정은 시간에 따라 어떻게 변할 수 있는지를 설명하는 무작위 변수들의 시리즈로 생각할 수 있다.

 

상태 공간은 확률 과정에서 무작위 변수가 취할 수 있는 모든 가능한 값들의 범위를 의미
이는 확률 과정의 각 단계에서 관찰할 수 있는 결과의 전체 집합을 나타낸다.
예를 들어, 동전 던지기의 경우 상태 공간은 앞면 또는 뒷면

 

 

아래는 브라운 운동의 예와 연속적으로 계속 이루어졌을때 브라운 운동

예제

Write a function for Black-Scholes formula. (유러피안 콜 옵션의 가격을 계산)

(1) Then, given S=500, K=500, r=0.03 and , make a plot of this function when moving t from 0.1 to 3.0.

(2) Then, given K=500, r=0.03, t=0.17 and , make a plot of this function when moving S from 500 to 1200.

(3) Then, given S=500, r=0.03, t=0.17 and , make a plot of this function when moving K from 500 to 1100.

[Hint] Refer to the following statements:
from scipy import log, exp, sqrt, stats
from scipy.stats import norm.cdf

sigma = 0.1

from scipy.stats import norm
from scipy import log, exp, sqrt
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 블랙-숄즈 모델을 이용한 유러피안 콜 옵션 가격 계산 함수
def black_scholes_call(S, K, r, t, sigma):
    d1 = (log(S/K) + (r + sigma**2 / 2) * t) / (sigma * sqrt(t))
    d2 = d1 - sigma * sqrt(t)
    return S * norm.cdf(d1) - K * exp(-r * t) * norm.cdf(d2)

sigma = 0.1  # 주식 가격 변동성을 0.1로 설정

# (1) 시간에 따른 콜 옵션 가격 변화 그래프
t_range = np.linspace(0.1, 3.0, 100)
call_prices_t = [black_scholes_call(500, 500, 0.03, t, sigma) for t in t_range]

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(t_range, call_prices_t)
plt.xlabel('time (year)')
plt.ylabel('Call_Option_price')
plt.title('chagne_price')
plt.show()

# (2) 주식 가격에 따른 콜 옵션 가격 변화 그래프
S_range = np.linspace(500, 1200, 100)
call_prices_S = [black_scholes_call(S, 500, 0.03, 0.17, sigma) for S in S_range]

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(S_range, call_prices_S)
plt.xlabel('Option price')
plt.ylabel('Call_Option_Price')
plt.title('change_price')
plt.show()

# (3) 행사 가격에 따른 콜 옵션 가격 변화 그래프
K_range = np.linspace(500, 1100, 100)
call_prices_K = [black_scholes_call(500, K, 0.03, 0.17, sigma) for K in K_range]

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(K_range, call_prices_K)
plt.xlabel('행사 가격')
plt.ylabel('콜 옵션 가격')
plt.title('행사 가격에 따른 콜 옵션 가격 변화')
plt.show()