임의의 함수에서 최솟값 찾기 Convex 최적화 정의: Convex 최적화는 볼록 함수(convex functions)에서 최솟값을 찾는 과정입니다. 볼록 함수는 전역 최솟값(global minimum)을 찾을 수 있는 특성을 가집니다. 최솟값 찾기 방법 Convex 함수의 경우 미분을 통해 최솟값을 찾습니다. 함수를 미분하여 그 결과가 0이 되는 점을 찾습니다. 이 점이 최솟값을 나타냅니다. 경사 하강법 (Gradient Descent) 최솟값을 직접적으로 계산하는 대신, 초기 추정값에서 시작하여 점차 최솟값에 가까워지는 방식입니다. 각 단계에서 함수의 기울기(미분값)를 계산하고, 그 기울기가 감소하는 방향으로 값을 조정합니다. 학습률(Learning Rate)은 이동 거리를 결정하며, 적절한 크기의 ..

블랙-숄즈 모델에서 콜 옵션 -> 유럽 스타일의(옵션을 만료일에만 행사할 수 있는) 콜 옵션 가격을 계산하는데 유용 블랙- 숄즈 모델의 핵심 아이디어: 주식 가격은 로그 정규 분포를 따르는 연속적인 무작위 경로를 따른다. 시장은 효율적이며, 거래 비용이 없고, 자산의 매도와 매수가 자유롭다. 무위험 이자율은 알려져 있으며, 만기까지 변하지 않는다. 옵션은 만료일에만 행사할 수 있다. 가격을 나타내는 공식 $C(s,t,K,σ,r)$ = $E[e^{-rt}(S(t) - K)^+]$에 대한 설명은 다음과 같다: $C(s,t,K,σ,r)$: 콜 옵션의 가격(비용). 콜 옵션은 소유자에게 특정 가격(K)으로 주식을 구매할 권리(하지만 의무는 아님)를 부여. $s$: 현재 주식(또는 다른 금융 상품)의 가격. $t..

브라운 운동 브라운 운동 → 연속 시간에 발생하는 무작위 걸음 (random walk)으로 , 움직임이 이산적(discrete)이 아닌 연속적(continuous) ex) 코인을 던져서 매 시간마다 한 걸음씩 이동하는 무작위 걸음을 생성하는 것과 유사하지만, 브라운 운동을 생성하기 위해서는 코인을 무한히 빠르게 던지고, 각 시점마다 무한히 작은 걸음을 취해야한다. 스탠다드 버전 브라운 운동은 아래와 같은 특징을 가지고 있는 무작위 걸음 B(0)=0: 시작점에서의 값은 0입니다. 시작점: B(0) = 0 : 시작점에서의 값은 0입니다. 정규 분포의 변화: 0

기계학습 방법론의 종류 1. Supervised learning (지도 학습) 데이터의 input과 output을 아는 상태에서 둘 사이의 관계를 학습하는 것. 2. Unsupervised learning (비지도 학습) 데이터의 output을 모르는 상태에서 “interesting structure”를 찾아내는 것. Reinforcement learning (강화학습)이 과목에서는 다루지 않음. Supervised learning (지도 학습) Classification (분류) – 각 데이터가 어떤 class에 속하는지 구분 → 카테고리 Regression (회귀) – 각 데이터가 어떤 continuous variable 에 가까운지 예측 → 연속적 Classification - 각 데이터가 어떤 c..